basic geometry

Absolute geometry is a geometry base on an axiom system that does not assume the parallel postulate or any of its alternatives. The term was introduced by János Bolyai in 1832. It is sometimes referred to as neutral geometry, as it is neutral with respect to the parallel postulate.

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user #8152757: basic geometry

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【問題1】 △ABCは∠BAC=20°,AB=ACの二等辺三角形である。辺AB上に点D,辺AC上に点Eを、∠EBC=60°,∠DCB=50°となるようにとる。 ∠DEBを求めよ。 (ラングレーの問題)
【問題24】正数a,b,c,dが四面体の4つの面の面積となるための必要十分条件をa,b,c,dに関する不等式を用いて表せ。 (第14回(2011)近大数学コンテスト)
Do you need some ready-to-use lessons and games for introducing or reviewing basic geometry concepts? Geometry:...
【問題45】 ∠CAB=120°,AB=ACの二等辺三角形ABCにおいて，辺AB上に点D，辺AC上に点Eがあり,∠EBC=24,∠BCD=12°のとき,DB=DEとなることを示せ。 (月刊『現代数学』2012年7月号)
【問題30】三角形ABCのそれぞれの内角の3等分線の交点のうち，辺に近い3点を結んでできる三角形は正三角形であることを示せ。(モーレーの定理)
【問題27】三角形ABCがsinAsinBsinC=1/1000,AB･BC･CA=1000を満たすとき三角形ABCの面積を求めよ。 (USA NIMO 2014)
【問題39】 △ABCのBC，CA，ABのそれぞれの中点をD，E，F，三頂点A，B，Cから対辺におろした垂線の足をL，M，N，垂心をHとしてAH，BH，CHの中点をP，Q，Rとすると九つの点DEFLMNPQRは一つの円周上にあることを示せ。(九点円の定理)
【問題8】二等辺三角形を考える。r を外接円の半径 , ρ を内接円の半径とする。この２つの円の中心の距離 d は, d=√{r(r-2ρ)} であることを示せ。 (1962年 IMO チェコスロバキア大会)
【問題3】正六角形ABCDEFの対角線AC,CE上にそれぞれ点M,NがAM/AC=CN/CE=rを満たすように与えられている。さらに点B,M,Nが一直線上にあると仮定するとき、rを求めよ。 (1982年 IMO ハンガリー大会)
【問題11】 △ABCは鋭角三角形でAB≠ACである。BCの中点をO，BCを直径とする円とAB,ACの交点をそれぞれM,N，∠BACの２等分線と∠MONの2等分線の交点をRとする。△BMRの外接円と△CNRの外接円は辺BC上に共有点をもつことを示せ。 (IMO2004　ギリシャ)
【問題34】円Cの外側に相異なる2点A,Bが与えられている。点Aから円周上の点を経由して点Bに至る最短経路を求めよ。
【問題25】ABを直径とする半円がある。半円上の点Dから直径ABに降ろした垂線の足をCとする。直径AB,線分DC,弧DBに接する円の中心をP,円と直径ABの接点をEとする。△AEDが二等辺三角形であることを示せ。 (第13回(2006)シュプリンガー数学コンテスト)
【問題29】四角形ABCDにおいてAB･CD+AD･BC≧AC･BDを示せ。(トレミーの不等式)
@pythoroshan pretty much similar to basic geometry from high school mathematics
Trying to do basic geometry #It'sNotGoingWell #Brainache #TooOldForThis
【問題9】平面上に5点A,B,C,D,Eがあり、ABCDは平行四辺形、BCEDは円に内接する四角形である。点Aを通る直線lは、線分DCと端点以外の点Fで、直線BCと点Gで交わる。EF=EG=FGが成り立つ時、lは∠DABの二等分線であることを示せ。 (IMO2007 ベトナム)
【問題10】 △ABCの外接円上の任意の点Pから3直線BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとするとき、D,E,Fは同一直線上にあることを証明せよ。ただし点PはA,B,Cのいずれとも異なるものとする。(シムソンの定理) (2004年　月刊『大学への数学』　6月号)
【問題14】半径rの球14個を、3段に並べてピラミッドを作る。 (一番下の段には9個を正方形状に並べ、真ん中の段には4つを正方形状に並べ、一番上の段には1個を並べる。) この時、このピラミッドの高さを求めよ。 (京都数学グランプリ2008)
【問題44】 △ABCが正三角形であるための必要十分条件は△ABCの内心,外心,重心,垂心のうち2つが一致することであることを示せ。
Basic Geometry | humor | Pinterest
【問題26】周の長さが一定の三角形で面積が最大のものは正三角形であることを示せ。
【問題21】空間内に平面αがある。一辺の長さ1の正四面体Vのα上への正射影の面積をSをする。Vの位置を色々と変えるときのSの最大値と最小値を求めよ。 (1988 東大理系)
【問題37】 △ABCの各辺の長さをa,b,cとし、外心をO,内心をG,外接円の半径をRとする。このときOG^2=R^2-(aa+bb+cc)/9を示せ。(Leibnizの定理)
【問題18】 △ABCにおいて、BC=a,CA=b,AB=cとする。辺AB上に点P、辺AC上に点Qがあり、線分PQが△ABCの面積を2等分している。このとき、線分PQが通過しうる点全体のなす集合の面積を求めよ。 (2013 近大数学コンテスト)
【問題35】与えられた円に内接する全ての三角形の中で正三角形が最大の周長を持つことを示せ。
@ChrisBarnhart She put the "basic" in basic geometry. @lachlan
【問題6】 AD//BCの台形ABCDにおいて AB=AC， BD=BC， ∠DBC=∠ACDのとき，∠ABDを求めよ。 (月刊『現代数学』 2010年8月号)
【問題13】 △ABCにおいて、∠BAC=96°,∠ACB=30°,AB=1のとき、ACの大きさを求めよ。 (2001 広中杯トライアル問題)
暫くは試験運用です。
【問題7】 △ABCを ∠ABC=90°，∠BCA=27°の直角三角形とする。線分AB上に点D，線分BC上に点Eがあり， ∠EAB=39°， ∠ADC=99°のとき， ∠BEDを求めよ。 (月刊『現代数学』 2010年5月号)
【問題38】 △ABCの外心をO,内心をIとしRを外接円の半径,rを内接円の半径とする。このときOI^2=R^2-2Rrが成り立つことを示せ。(オイラーの定理)
【問題41】平行な辺を持たない四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢとＣＤの交点をＥ、ＡＤとＢＣの交点をＦとすると、ＡＣの中点Ｌ、ＢＤの中点Ｍ、ＥＦの中点Ｎは一直線上にあることを示せ。(ニュートンの定理)
【問題2】 AB=ACである二等辺三角形ABCがある。円が△ABCの外接円に内接し、かつ辺AB,ACと各々点P,Qで接している。このとき線分PQの中点は△ABCの内心に一致することを示せ。 (1978年 IMO ルーマニア大会)
【問題42】凸n角形の重心をGとするとGはn角形の内部に存在することを示せ。
【問題12】四角形ABCDにおいて、BC=CD=DA,∠BCD=90°,∠CDA=150°であるとする。このとき、∠DAB,∠ABCの値を求めよ。 (京都数学グランプリ2007)
【問題40】円に外接する四角形の２本の対角線の中点と、円の中心は同一直線上にあることを示せ。(ニュートンの定理)
【問題5】空間内に四面体ABCDを考える。このとき、4つの頂点A,B,C,Dを通る球面が存在することを示せ。 (2011年　京大理系)
【問題17】正八面体のひとつに面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。 (2008 東大理系第3問 (1))
【問題4】鋭角三角形ABCの内部に点Pを、A',B',C'をそれぞれ△BCP,△CAP,△ABPの外心となるようにとる。このときA,B,C,A',B',C'が同一円周上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することであることを示せ。 (2009年　京大理系・乙)
【問題23】 △ABCにおいて、点B,Cから降ろした垂線の足をそれぞれD,Eとする。また△ABCの外接円の中心をO、辺BCに対して点Aと反対側にある傍心をIとする。この時直線IOと直線DEは直行することを示せ。
【問題19】 α,βをどちらも0より大きくπより小さい実数とする。また A=√{4-(cosα-cosβ)^2} B=sinα+sinβ+2sin{(α+β)/2} とする。このとき、A-Bの最小値を求めよ。ただしトレミーの定理を用いてよい。 (第3回東進数学コンクール)
【問題16】正方形ABCDがある。直線をひくことだけで辺ABの中点を作図せよ。 (2011年　京都数学オリンピック道場)
こんな問題が欲しい、という要望がございましたらご連絡ください。できる限り対応させていただきます。
【問題43】 △ABCの外心をO,重心をG,垂心をHとするとこれら3点は一直線上にありOG:GH=1:2であることを示せ。(この直線をオイラー線という。)
【問題36】同じ半径の3つの円が共有点を持つとする。これらの内の少なくとも2つの円の内部にある点の集合をSとする。この時Sの面積を最小にするためには3つの円をどのように配置すればよいか？(フランスMO 1995年)
@Alyyy_x0 uhhh the first test is basic geometry, the next is like angles, the third is like trig n the last test is everything lol
RT @RedactedProfile: @NoorStudios yeah CryENGINE uses plugins for Maya/Max/XSI for exporting Geometry
@NoorStudios yeah CryENGINE uses plugins for Maya/Max/XSI for exporting Geometry
@sinisteragent The whole thing has a many-angled disregard for perspective and basic geometry that unnerves on a subconscious level.
【問題33】全ての頂角が120°以下の△ABCには∠APB=∠BPC=∠CPA=120°となる点Pがただ1つ存在することを示せ。(この点Pを三角形のFermat点という。)

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